Question

已知函數(shù)f（x）=

2 |x-2| ， x≠2 1， x=2

，若關(guān)于x的方程：[f（x）]³+b[f（x）]²+c[f（x）]+d=0有且僅有3個不同的實根x₁，x₂，x₃，則x₁²+x₂²+x₃²的值是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：題中原方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數(shù)解，即要求對應(yīng)于方程：f（x）=某個常數(shù)，有3個不同實數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時，它有三個根．故關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數(shù)解，即解分別是1，2，3．從而問題解決．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

2 |x-2| ， x≠2 1， x=2

，
∴f（2）=1，f（x）=1，x=0，或x=4，即f（0）=f（4）=1，
作出f（x）的簡圖：

由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時，它有三個根．
故關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數(shù)解，
即解分別是0，2，4．
故x₁²+x₂²+x₃²=0+4+16=20，
故答案為：20，

點評：本小題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系、函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．