Question

20．已知拋物線C的頂點在坐標原點且關于x軸對稱，直線x-y+1=0與C有唯一的公共點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知直線l與C交于A，B兩點，點M（1，t）在線段AB上，又點P的坐標為（1，2），若△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，問：l的斜率是否為定值？若是則求此定值，否則說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可設拋物線的方程為：y²=2px（p＞0），與直線x-y+1=0聯(lián)立可得：x²+（2-2p）x+1=0，利用直線與拋物線相切的性質可得△=0，解得p即可得出．
（2）由△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，可得直線x=1是∠AMB的平分線，因此直線PA與PB的斜率存在且k_PA=-k_PB．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用斜率計算公式可得：k_PA，k_PB．由于點A，B在拋物線上，${y}_{1}^{2}$=4x₁，${y}_{2}^{2}=4{x}_{2}$，代入化簡可得：y₁+y₂=-4．又${y}_{1}^{2}$-${y}_{2}^{2}$=4（x₁-x₂），k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，代入即可得出．

解答 解：（1）由題意可設拋物線的方程為：y²=2px（p＞0），與直線x-y+1=0聯(lián)立可得：x²+（2-2p）x+1=0，
∵直線x-y+1=0與C有唯一的公共點，∴△=（2-2p）²-4=0，
解得p=2．∴拋物線的方程為：y²=4x．
（2）∵△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，
∴直線x=1是∠APB的平分線，∴直線PA與PB的斜率存在且k_PA=-k_PB．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則k_PA=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$，
k_PB=$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$，（x₁，x₂≠1）．
由于點A，B在拋物線上，∴${y}_{1}^{2}$=4x₁，${y}_{2}^{2}=4{x}_{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1}$=-$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1}$，化為：y₁+y₂=-4．
又${y}_{1}^{2}$-${y}_{2}^{2}$=4（x₁-x₂），∴k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1．
∴l(xiāng)的斜率定值-1．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與相切問題問題轉化為一元二次方程的判別式與0的關系、斜率計算公式、角平分線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．