Question

16．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積是$\frac{353π}{16}$．

Answer 1

分析 由三視圖知該四棱錐是如圖所示的四棱錐S-ABCD，其中ABCD是邊長為2的正方體，面SAD⊥面ABCD，SA=SD，AD中點(diǎn)為E，SE=4，由此求出外接球的半徑，利用球體的表面積公式計(jì)算即可．

解答 解：由三視圖知該四棱錐是如圖所示的四棱錐S-ABCD，
其中ABCD是邊長為2的正方體，面SAD⊥面ABCD，SA=SD，
AD中點(diǎn)為E，SE=4，
其BC中點(diǎn)G，連結(jié)EG、SG，BD∩AC=H，
設(shè)該四棱錐的外接球球心為O，作OF⊥SE于F，
則OH⊥平面ABCD，OF=EH=1，CH=$\sqrt{2}$，
設(shè)OH=x，則SF=4-x，
∵OS=OC=R，
∴OS²=OC²，即（4-x）²+1=x²+2，解得x=$\frac{15}{8}$，
∴該四棱錐的外接球半徑R=$\sqrt{（\frac{15}{8}）^{2}+2}$=$\frac{\sqrt{353}}{8}$，
∴該四棱錐的外接球的表面積S=4πR²=4π×$\frac{353}{64}$=$\frac{353π}{16}$．
故答案為：$\frac{353π}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查三視圖求幾何體的外接球的表面積的求法，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．