已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlnx(a>1)
(1)求函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的取值范圍.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,絕對值不等式的解法
專題:綜合題,導數(shù)的綜合應用
分析:(1)求導數(shù),利用導數(shù)的正負,可求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間;
(2)f(x)的最大值減去f(x)的最小值大于或等于e-1,由單調(diào)性知,f(x)的最大值是f(1)或f(-1),最小值f(0)=1,由f(1)-f(-1)的單調(diào)性,判斷f(1)與f(-1)的大小關(guān)系,再由f(x)的最大值減去最小值f(0)大于或等于e-1求出a的取值范圍.
解答: 解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.
令h(x)=f'(x)=2x+(ax-1)lna,h'(x)=2+axln2a,
當a>0,a≠1時,h'(x)>0,所以h(x)在R上是增函數(shù),…(2分)
又h(0)=f'(0)=0,所以,f'(x)>0的解集為(0,+∞),f'(x)<0的解集為(-∞,0),
故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)…(4分)
(2)因為存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,
而當x∈[-1,1]時|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min
所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1…(6分)
又因為x,f'(x),f(x)的變化情況如下表所示:
x(-∞,0)0(0,+∞)
f'(x)-0+
f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)
所以f(x)在[-1,0]上是減函數(shù),在[0,1]上是增函數(shù),
所以當x∈[-1,1]時,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,
f(x)的最大值f(x)max為f(-1)和f(1)中的最大值.…(8分)
因為f(1)-f(-1)=a-
1
a
-2lna,
令g(a)=a-
1
a
-2lna(a>0),
因為g′(a)=(1-
1
a
)2
>0,
所以g(a)=a-
1
a
-2lna在a∈(0,+∞)上是增函數(shù).
而g(1)=0,故當a>1時,g(a)>0,即f(1)>f(-1);
當0<a<1時,g(a)<0,即f(1)<f(-1)…(10分)
所以,當a>1時,f(1)-f(0)≥e-1,即a-lna≥e-1,
而函數(shù)y=a-lna在a∈(1,+∞)上是增函數(shù),解得a≥e;
當0<a<1時,f(-1)-f(0)≥e-1,即
1
a
+lna≥e-1,函數(shù)y=
1
a
+lna在a∈(0,1)上是減函數(shù),
解得0<a≤
1
e

綜上可知,所求a的取值范圍為(0,
1
e
]∪[e,+∞).…(12分)
點評:本題考查了基本函數(shù)導數(shù)公式,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.屬于難題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
,
b
為單位向量,則下列正確的是( �。�
A、
a
-
b
=0
B、
a
+
b
=2
a
=2
b
C、|
a
|-|
b
|=0
D、
a
b
=1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

f(x)=x-a(x+1)ln(x+1).
(Ⅰ)求f(x)的極值點;
(Ⅱ)當a=1時,若方程f(x)=t在[-
1
2
,1]上有兩個實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)證明:當m>n>0時,(1+m)n<(1+n)m

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x+2,x≤-1
2x,-1<x<2
x2
2
,x≥2

(1)求f{f[f(-
7
4
)]}
(2)若f(a)=3,求a的值;
(3)畫出f(x)的圖象.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
sin(ωx+ϕ),(0<ϕ<π,ω>0)為偶函數(shù),且函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
2

(Ⅰ)求f(
π
8
)的值;
(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移
π
6
個單位后,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求y=g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足條件:對于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時,f(x)<0.
(1)求f(0)的值;       
(2)討論f(x)的奇偶性和單調(diào)性.
(3)當x>0時,對于f(x)總有f(1-m)+f(1-m2)<0,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-x3+3x在點A,B處分別取得極大值和極小值.
(1)求A,B兩點的坐標;
(2)過原點O的直線l若與f(x)的圖象交于A,B兩點,求|OA||OB|.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx+c圖象上的點P(1,f(1))處的切線方程為y=-3x+1
(1)若函數(shù)f(x)在x=-2時有極值,求f(x)的表達式;
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞減,求實數(shù)b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)設(shè)f(x)=
e x-e -x
2
 
,g(x)=
ex+e-x
2
,證明:f(2x)=2f(x)•g(x);
(2)若xlog34=1,求4x+4-x的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案