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如圖所示的數表，對任意正整數i（i=1，2，3，…）滿足以下兩個條件：
①第一行只有一個數1；
②第i行共有i個數，這行從左至右第一個數等于前一行所有數的平均數，這些數構成一個公差為2的等差數列，
則：（1）第7行第一個數為
16
16
；（2）第n行所有數的和為
n3-n2+2n
2
n3-n2+2n
2
．
分析：根據第i行共有i個數，這行從左至右第一個數等于前一行所有數的平均數，這些數構成一個公差為2的等差數列，可得第n行所有數的和an=n×
an-1
n-1
+2+4+…+2(n-1)，由此可求第n行所有數的和．
解答：解：設an為第n行所有數的和，
根據第i行從左至右第一個數等于前一行所有數的平均數，可得第n行的第一個數等于
an-1
n-1
，
再利用第i行的數構成一個公差為2的等差數列，可得an=n×
an-1
n-1
+2+4+…+2(n-1)=n×
an-1
n-1
+n(n-1)
∴
an
n
-
n(n-1)
2
=
an-1
n-1
-
(n-1)(n-2)
2

∴
an
n
-
n(n-1)
2
=
an-1
n-1
-
(n-1)(n-2)
2
=…=
a1
1
=1
∴an=
n3-n2+2n
2

∴第7行第一個數為
a6
6
=
96
6
=16
故答案為：16，
n3-n2+2n
2
點評：本題考查數列的應用，考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2012年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（北京卷解析版） 題型：解答題

設A是如下形式的2行3列的數表，

a

b

c

d

e

f

滿足性質P：a，b，c，d，e，f，且a+b+c+d+e+f=0

記為A的第i行各數之和（i=1,2）, 為A的第j列各數之和（j=1,2,3）記為中的最小值。

（1）對如下表A，求的值

1

1

-0.8

0.1

-0.3

-1

(2)設數表A形如

1

1

-1-2d

d

d

-1

其中，求的最大值

（3）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求的最大值。

【解析】（1）因為，，所以

（2），

因為，所以，

所以

當d=0時，取得最大值1

（3）任給滿足性質P的數表A（如圖所示）

a

b

c

d

e

f

任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表仍滿足性質P，并且，因此，不妨設，，

由得定義知，，，，

從而

     

所以，，由（2）知，存在滿足性質P的數表A使，故的最大值為1

【考點定位】此題作為壓軸題難度較大，考查學生分析問題解決問題的能力，考查學生嚴謹的邏輯思維能力

 

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