Question

已知α，β∈(0，π)，cos(α-β)=-

2

5

5

，cosβ=-

7 2

10

，則2α-β=（　�。�

• A．-

  3π

  4

• B．-

  π

  4

• C．

  π

  4

• D．

  3π

  4

Answer 1

分析：由條件可得 α為銳角、β為鈍角，且-π＜α-β＜-

π

2

，sin（α-β）=-

5

5

，sinβ=

2

10

．利用二倍角公式求得 cos2（α-β）的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得
sin2（α-β）的值，再根據(jù)cos（2α-β）=cos[2（α-β）+β]，利用兩角和的余弦公式求得cos（2α-β） 的值，結(jié)合2α-β的范圍，求得2α-β的值．

解答：解：∵α，β∈(0，π)，cos(α-β)=-

2

5

5

，cosβ=-

7 2

10

，
∴α為銳角、β為鈍角，且-π＜α-β＜-

π

2

，
∴sin（α-β）=-

5

5

，sinβ=

2

10

．
∴cos2（α-β）=2cos²（α-β）-1=2×

20

25

-1=

3

5

，sin2（α-β）=2sin（α-β）cos（α-β）=

4

5

．
∴cos（2α-β）=cos[2（α-β）+β]=cos2（α-β）cosβ-sin2（α-β）sinβ=

3

5

×

-7 2

10

-

4

5

×

2

10

=-

2

2

．
由 α為銳角，且-π＜α-β＜-

π

2

，可得-π＜2α-β＜0，
∴2α-β=-

3π

4

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的余弦公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．