Question

18．設F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段PF₁的中點在y軸上，∠PF₁F₂=30°，F(xiàn)₁F₂=2，則橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 判斷三角形PF₁F₂是直角三角形，依題意可求得|PF₁|與|PF₂|，求出a，然后求解b，即可求解橢圓方程．

解答 解：F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段PF₁的中點在y軸上，可得PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，
∴|F₁F₂|=2，|PF₁|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，|PF₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
又|PF₁|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，|F₁F₂|=2c=2，c=1，
∴b=$\sqrt{2}$．
所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，求得|PF₁|與|PF₂|是關鍵，考查理解與應用能力，屬于中檔題．