Question

過曲線上一點與以此點為切點的切線垂直的直線，叫做曲線在該點的法線．
已知拋物線C的方程為y=ax²（a＞0，x≠0）．點M（x₀，y₀）是C上任意點，過點M作C的切線l，法線m．
（I）求法線m與拋物線C的另一個交點N的橫坐標(biāo)x_N取值范圍；
（II）設(shè)點F是拋物線的焦點，連接FM，過點M作平行于y軸的直線n，設(shè)m與x軸的交點為S，n與x軸的交點為K，設(shè)l與x軸的交點為T，求證∠SMK=∠FMN

Answer 1

分析：（Ⅰ）將直線m的方程與拋物線C的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得N點的橫坐標(biāo)的表達式，最后根據(jù)函數(shù)的值域求出其范圍即可；
（Ⅱ）欲證∠SMK=∠FMN，即要證∠TMK=∠FMT，為了證角相等，只要證明直線n是∠FMK的平分線，故只要證明T到直線n和直線MF距離相等即可．

解答：解：（Ⅰ）易得直線m的方程：y-y0=-

1

2ax0

(x-x0)與y=ax²
聯(lián)立得ax2+

x

2ax0

-

1

2a

-a

x

2 0

=0，
∴xN•x0=-

1

2a2

-

x

2 0

，xN=-

1

2a2x0

-x0，
易得xN∈(-∞，-

2

2

]∪[

2

2

，+∞)
即x_N取值范圍是(-∞，-

2

2

]∪[

2

2

，+∞)；（6分）
（Ⅱ）由題意得l的方程y-y₀=2ax₀（x-x₀），令y=0得xT=

x0

2

，∴T(

x0

2

，0)
此時T到直線n的距離為|

x0

2

|，又MF方程：y-

1

4a

=

a x 2 0 - 1 4a

x0

(x-0)，
設(shè)T到MF距離為d，則d=

|(a x 2 0 - 1 4a ) x0 2 + x0 4a |

x 2 0 +(a x 2 0 - 1 4a )2

=|

x0

2

|，
∴∠TMK=∠FMT，∴∠SMK=∠FMN．（13分）

點評：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．