Question

設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l．如果以F為圓心，實(shí)軸長為半徑的圓與l相交，那么雙曲線的離心率e的取值范圍是

（1，1+

2

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，雙曲線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離小于實(shí)軸長，由此建立關(guān)于a、b、c的不等關(guān)系，結(jié)合雙曲線中c²=a²+b²和離心率的公式，化簡整理即可求出此雙曲線的離心率范圍．

解答：解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)為F（c，0），右準(zhǔn)線為l：x=

a2

c

∴F到l的距離為d=c-

a2

c

=

b2

c

∵以F為圓心，實(shí)軸長為半徑的圓與l相交，
∴F到準(zhǔn)線的距離d小于實(shí)軸長2a，即

b2

c

＜2a
化簡得b²=c²-a²＜2ac，
兩邊都除以a²，化簡得e²-2e-1＜0，解之得1-

2

＜e＜1+

2

∵雙曲線的離心率e∈（1，+∞）
∴此雙曲線的離心率e∈（1，1+

2

）
故答案為：（1，1+

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率的范圍．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．