Question

13．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+ax-1（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）≥0；
（2）若不等式f（a）+f（-a）≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為|2a-1|+|2a+1|≤2恒成立，通過討論a的范圍，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=|2x-1|+x-1，
由不等式f（x）≥0可化為：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x-1+x-1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x+x-1≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥$\frac{2}{3}$或x≤0，
故不等式的解集是（-∞，0]∪[$\frac{2}{3}$，+∞）；
（2）若不等式f（a）+f（-a）≤0恒成立，
即|2a-1|+a²-1+|2a+1|-a²-1≤0恒成立，
即|2a-1|+|2a+1|≤2恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{1}{2}}\\{2a-1+2a+1≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}}\\{1-2a+2a+1≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-\frac{1}{2}}\\{1-2a-2a-1≤2}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．