Question

13．已知點F（-c，0）（c＞0）是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦點，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x²+y²=c²交于點P，且點P在拋物線y²=4cx上，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 如圖，設拋物線y²=4cx的準線為l，作PQ⊥l于Q，設雙曲線的右焦點為F′，P（x，y）．由題意可知FF′為圓x²+y²=c²的直徑，可得PF′⊥PF，且tan∠PFF′=$\frac{a}$，|FF′|=2c，因此$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4cx①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y}{x+c}=\frac{a}③}\end{array}\right.$，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：如圖，設拋物線y²=4cx的準線為l，作PQ⊥l于Q，
設雙曲線的右焦點為F′，P（x，y）．
由題意可知FF′為圓x²+y²=c²的直徑，
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=$\frac{a}$，|FF′|=2c，
滿足$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4cx①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y}{x+c}=\frac{a}③}\end{array}\right.$，
將①代入②得x²+4cx-c²=0，
則x=-2c±$\sqrt{5}$c，
即x=（$\sqrt{5}$-2）c，（負值舍去）
代入③，即y=$\frac{（\sqrt{5}-1）bc}{a}$，再將y代入①得，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4（\sqrt{5}-2）}{（\sqrt{5}-1）^{2}}$=e²-1
即e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
∴e=$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$
故選：$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$．

點評 本題考查了雙曲線拋物線與圓的標準方程及其性質、平行線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．