Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n} 滿足S_n+S_n-1=ta_n²+2（n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是數(shù){a_n} 的前n項(xiàng)和．
（1）求a₂及通項(xiàng)a_n；
（2）記數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n＜2對(duì)所有的n∈N⁺都成立，求證：0＜t≤1．

Answer 1

分析：（1）將n=2代入已知等式，求出a₂，仿寫另一個(gè)等式，兩個(gè)式子相減得到數(shù)列的項(xiàng)的遞推關(guān)系，利用等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得．
（2）根據(jù)第（1）問題結(jié)論利用裂項(xiàng)的方法即可求的不等式左邊當(dāng)n≥2時(shí)的前n項(xiàng)和，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為t²（1-

1

n

）＜2對(duì)于n≥2，n∈N^*恒成立，再結(jié)合放縮法即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）a₁=1，S₂+S₁=ta₂²+2得a₂=0（舍去）或a2=

1

t

，
又S_n+Sn-1=ta_n²+2    （1）
S_n-1+S_n-2=ta_n-1²+2（n≥3）（2）
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3），
因?yàn)閿?shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，∴an-an-1=

1

t

(n≥3)，
即數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開始是公差為

1

t

的等差數(shù)列．∴an= 

1(n=1) n-1 t (n≥2)

----7 分
（2）當(dāng)n=時(shí)T₁=t＜2；
n≥2時(shí)，T_n=t+

t2

1×2

+

t2

2×3

+…+

t2

(n-1)n

=t+t2

n-1

n

要使T_n＜2對(duì)所有n∈N^*恒成立，只t+t2

n-1

n

≤2成立，
故0＜t≤1得證----（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的知識(shí)、分類討論的思想以及恒成立的思想和問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會(huì)反思．