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11.n∈N,A=(7+2)2n+1,B為A的小數(shù)部分,則AB的值應是(  )
A.72n+1B.22n+1C.32n+1D.52n+1

分析 先由n=1,求得A和A的小數(shù)部分B,計算可得27,猜想AB=32n+1;再由二項式定理,對A=(7+2)2n+1,C=(7-2)2n+1,分析可得C即為B,進而化簡計算即可得到結(jié)論.

解答 解:A=(7+2)2n+1
令n=1,可得A=(7+2)3=(73+3•(72•2+3•(7)•22+23
=197+50,
又(7-2)3=(73-3•(72•2+3•(7)•22-23
=197-50∈(0,1),
可得B=197-50,AB=(197+50)(197-50)=27=33=32+1
猜想AB=32n+1
由二項式定理可以看出,
A=(7+2)2n+1的展開式中所有奇數(shù)項均含有7,所有偶數(shù)項均為整數(shù),
我們假設(shè)所有奇數(shù)項的和為7a,所有偶數(shù)項的和為b,
也就是A=(7+2)2n+1=7a+b,
設(shè)C=(7-2)2n+1=7a-b,
那么A+C=27a,A-C=2b,AC=7a2-b2
由于0<7-2<1,所以0<C=(7-2)2n+1<1,
而且當n>1時C<12,即7a-b<12,即27a-2b<1,
充分說明C為A的小數(shù)部分,即C=B,
則AB=(7+2)2n+1•(7-2)2n+1
=[﹙7+2﹚×﹙7-2﹚]2n+1=32n+1
故選:C.

點評 本題考查二項式定理的運用,注意運用展開式中的各項的特點,考查運算能力,屬于中檔題.

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