Question

已知

a

=(x， 0)，

b

=(1， y)，且(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)．
（1）求點P（x，y）的軌跡C的方程，且畫出軌跡C的草圖；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與上述曲線C交于不同的兩點A、B，求實數k和m所滿足的條件；
（3）在（2）的條件下，若另有定點D（0，-1），使|AD|=|BD|，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用幾何條件(

a

+

3

b

)•(

a

-

3

b

)=0列方程，即可求得點P（x，y）的軌跡C的方程，畫圖時注意：不畫漸近線不得分
（2）將直線方程代入曲線方程，所得一元二次方程二次項系數不為零，判別式△＞0，列不等式即可得實數k和m所滿足的條件；
（3）設出A、B的坐標，利用韋達定理，可得AB中點H的坐標（用k、m表示），因為|AD|=|BD|，所以AB⊥DH，k_AB•k_DH=-1，即可得k與m的等量關系，進而利用k的范圍求得m的范圍．

解答：解：（1）(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)⇒(

a

+

3

b

)•(

a

-

3

b

)=0
⇒

a

2=3

b

2⇒x²=3（y²+1）
∴P（x，y）的軌跡C的方程為

x2

3

-y2=1
其草圖如右． （注：不畫漸近線，不得分）
（2）

y=kx+m x2-3y2-3=0

⇒(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0

1-3k2≠0 △＞0

⇒

3k2≠1(k≠0) 3k2＜m2+1

（*）
（3）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），A、B中點為H（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y0=kx0+m=

m

1-3k2

，
由題意，有AB⊥DH⇒k_AB•k_DH=-1
⇒k•

m 1-3k2 +1

3km 1-3k2

=-1                                      
⇒3k²=4m+1，
代入（*），得

4m+1≠1 4m+1＞0 4m+1＜m2+1

⇒-

1

4

＜m＜0或m＞4．

點評：本題綜合考查了曲線與方程，直線與雙曲線的關系，特別是直線與雙曲線的相交情形，解題時要善于將幾何條件轉化為代數條件，用代數方法解決幾何問題