已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對于任意(x1 , y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“理想集合”,則下列集合是“理想集合”的是( 。
A、M={(x  y)|y=
1
x
}
B、M={(x,y)|y=cosx}
C、M={(x,y)|y=x2-2x+2}
D、M={(x,y)|y=log2(x-1)}
分析:根據(jù)條件只需要判斷滿足x1x2+y1y2=0是否恒成立即可.
解答:解:A.y=
1
x
是以x,y軸為漸近線的雙曲線,漸近線的夾角為90°,在同一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,滿足“理想集合”的定義;
對任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,∴不滿足“理想集合”的定義,不是“理想集合”.
B.在函數(shù)y=cosx上存在點(0,1)、(
π
2
,0),滿足x1x2+y1y2=0成立,滿足“理想集合的”,滿足條件.
C.y=x2-2x+2=(x-1)2+1.當點(x1,y1)為(0,2)時,若x1x2+y1y2=0,則y2=0,不成立,∴C不滿足“理想集合”的定義,不是“理想集合”.
D.在y=log2(x-1)上當點(x1,y1)為(2,0)時,若x1x2+y1y2=0,則2x2=0,則x2=0,但函數(shù)的定義域為(1,+∞)此時x2=0,不成立,
∴D不滿足“理想集合”的定義,不是“理想集合”.
故選:B.
點評:本題考查“理想集合”的定義,利用對于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,是本題解答的關鍵,注意存在與任意的區(qū)別.難度較大.
練習冊系列答案
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1、已知集合M={0,x},N={1,2},若M∩N={2},則M∪N為( 。

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(2013•南充三模)已知集合M={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y),x,y∈R},有下列命題
①若f1(x)=
1,x≥0
-1,x<0
則f1(x)∈M;
②若f2(x)=2x,則f2(x)∈M;
③若f3(x)∈M,則y=f3(x)的圖象關于原點對稱;
④若f4(x)∈M則對于任意不等的實數(shù)x1,x2,總有
f4(x1)-f4(x2)
x1-x2
<0成立.
其中所有正確命題的序號是
②③
②③

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(1)函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M?說明理由.
(2)證明:函數(shù)f(x)=2x+x2∈M.
(3)設函數(shù)f(x)=lg
a
2x+1
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1
x-1
,x∈R,x≠1},集合N={x|
x
2
 
-2x-3≤0}
,則(  )

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πx3

(1)判斷g(x)與M的關系,并說明理由;
(2)M中的元素是否都是周期函數(shù),證明你的結論;
(3)M中的元素是否都是奇函數(shù),證明你的結論.

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