Question

定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)=

x2-x，x∈[0，1) -( 1 2 )|x-2|，x∈[1，2]

，若x∈[-2，0]時，f(x)≥

t

2

-

1

t

恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A、[-2，0）∪（0，1）
• B、[-2，0）∪[1，+∞）
• C、[-2，1]
• D、（-∞，-2]∪（0，1]

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：轉(zhuǎn)化思想

分析：根據(jù)條件先求出x∈[-2，0]時f（x）的解析式，再由x∈[-2，0]時，f(x)≥

t

2

-

1

t

恒成立即轉(zhuǎn)化為x∈[-2，0]時，f(x)min≥

t

2

-

1

t

，求出f（x）的最小值，再解含t的不等式即可．

解答： 解：令-2≤x≤0，則0≤x+2≤2，
∵f（x+2）=2f（x），
∴f（x）=

1

2

f(x+2)=

1 2 [(x+2)2-(x+2)]，-2≤x＜-1 - 2-|x| 2 ，-1≤x≤0

=

1 2 (x2+3x+2)，-2≤x＜-1 -2-1-|x|，-1≤x≤0

，
∵x∈[-2，0]時，f(x)≥

t

2

-

1

t

恒成立，
∴x∈[-2，0]時，f(x)min≥

t

2

-

1

t

，
當(dāng)-2≤x＜-1時，f（x）的最小值為f（-

3

2

）=-

1

8

；
當(dāng)-1≤x≤0時，f（x）的最小值為f（0）=-

1

2

．
∴x∈[-2，0]時，f（x）的最小值為-

1

2

，
由

t

2

-

1

t

≤-

1

2

，
解得t≤-2或0＜t≤1，
∴實數(shù)t的取值范圍是（-∞，-2]∪（0，1]，
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，這里要注意分段函數(shù)的最值求法，同時考查函數(shù)解析式的求法：轉(zhuǎn)移代入法，本題屬于中檔題．