Question

（本小題滿分12分）

如圖，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦、分別過(guò)焦點(diǎn)、，當(dāng)垂直于軸時(shí)，恰好有

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設(shè).

①當(dāng)點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，求的值；

②當(dāng)點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試判斷是否為定值？

若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)(3)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）法一：設(shè)，則.由題設(shè)及橢圓定義得

，消去得，所以離心率. ………………2分

法二：由橢圓方程得，又，，即，可求.

(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)知，，所以橢圓方程可化為.

①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，，直線的方程為.

由得，解得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

又，所以，，所以，. ………5分

②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，為定值6.

證明：設(shè)，，則.

若為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，則或，

所以.               ………………7分

若為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則由得，，所以.

又直線的方程為，所以由得

.

，∴.

由韋達(dá)定理得　，所以.　同理.

∴.

綜上證得，當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，為定值6. ………………12分

法二：設(shè)，，則

∵，∴；            ………………6分

又①，②，將、代入②得：

 即③；

③①得：；                               ……………10分

同理：由得，∴，

∴.                                           ……………12分

考點(diǎn)：本試題考查了橢圓的知識(shí)。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用聯(lián)立方程組的方法，結(jié)合韋達(dá)定理，以及判別式，來(lái)表示參數(shù)的值，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式化簡(jiǎn)求解為定值，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題。