Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知0≤b＜a，證明：ea-b-1＞ln

a+1

b+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0處取得極值，可得f'（x）=0，從而可求m=1，進(jìn)而可確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)G（x）=e^x-b-1-ln

x+1

b+1

，G'（x）=e^x-b-

1

x+1

，可得當(dāng)x＞b≥0時(shí)，G'（x）＞0，所以G（x）單調(diào)遞增，根據(jù) G（b）=1-

1

b+1

=

b

b+1

≥0，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，f′(x)=ex-

1

x+m

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0處取得極值，所以f'（x）=0，∴m=1
所以f′(x)=ex-

1

x+1

，函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞） 
∵-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0；x＞0時(shí)，f'（x）＞0；
∴x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（0）=0
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)G（x）=e^x-b-1-ln

x+1

b+1

，G'（x）=e^x-b-

1

x+1

當(dāng)x＞b≥0時(shí)，G'（x）＞0，所以G（x）單調(diào)遞增
又因?yàn)?G（b）=1-

1

b+1

=

b

b+1

≥0
∴0≤b＜a，G（a）＞G（b）≥0
∴e^a-b-1-ln

a+1

b+1

＞0
即 ea-b-1＞ln

a+1

b+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，正確求導(dǎo)．