Question

2．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，點M是SD的中點，AN⊥SC，且交SC于點N．
（1）求證：SC⊥平面AMN；
（2）求二面角D-AC-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標原點，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明SC⊥平面AMN．
（2）求出平面ABCD的一個法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-M的余弦值．

解答 證明：（1）∵在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD
∴以A為坐標原點，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，
由SA=AB，設AB=AD=AS=1，
則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CS}$=（-1，-1，1），
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{CS}$=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=0，∴$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow{CS}$，
∴SC⊥⊥AM，
又SC⊥AN，且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN．
解：（2）∵SA⊥底面ABCD，∴$\overrightarrow{AS}$是平面ABCD的一個法向量，且$\overrightarrow{AS}$=（0，0，1），
設平面ACM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=x+y=0}\\{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=-1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
cos＜$\overrightarrow{AS}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AS}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AS}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由圖形知二面角D-AC-M為銳二面角，
∴二面角D-AC-M的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．