Question

△ABC的三內(nèi)角A，B，C對應(yīng)三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，，函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則，由且，，得到，進(jìn)而得到f（x）的解析式，把f（x）利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和的正弦函數(shù)公式和特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)周期的公式T=及正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-，2kπ+]，即可得到f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）由三角形的三邊a，b，c成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，表示出b，然后余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入化簡后得到cosB的值大于等于，由B為三角形中的角，得到B的取值范圍，把x=代入f（x）中化簡后，由B的范圍得到正弦函數(shù)相應(yīng)的值域，進(jìn)而得到f（x）的值域．
解答：解：（1）f（x）=sin²x+cosx（2sinx+3cosx）-1
=sin2x+cos2x+1=，（3分）
由得：
∴函數(shù)的最小正周期：T=π，單調(diào)遞增區(qū)間是：（6分）
（2）由a，b，c成等差數(shù)列，得：2b=a+c，
∴
=，
∴，（10分）
∴的值域為．（12分）
點評：此題考查學(xué)生靈活運用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和的正弦函數(shù)公式和特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，掌握正弦函數(shù)的周期及單調(diào)性，是一道中檔題．