Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3）．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBA以每秒2個(gè)單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：菱形ABCD的邊長(zhǎng)是

 

，面積是

 

；
（2）探究下列問(wèn)題：
①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
②在點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APQ能否成為等腰三角形，若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）已知C，D的坐標(biāo)，可在Rt△COD中用勾股定理求出CD的長(zhǎng)即菱形的邊長(zhǎng)．菱形的面積就是4個(gè)Rt△COD的面積．
（2）求△APQ的面積關(guān)鍵是求出底邊AP上的高，過(guò)Q作QG⊥AD于G，那么QG就是△APQ的高，可根據(jù)相似三角形△AQG和△ABE來(lái)求出QG的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法即可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值，以及對(duì)應(yīng)的t的值．

解答： 解：（1）∵菱形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3）．
∴|CD|=

32+42

=5，S=

1

2

|AC||BD|=

1

2

×6×8=24．
故答案為：5，24．
（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t，
作BE⊥AD，由

1

2

AD•BE=

1

2

BD•AO得BE=

24

5

，
過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，有QG∥BE得△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

QA

BA

∴QG=

48

5

-

48t

25

，
∴S=

1

2

AP•QG=

24

25

t2+

24

5

t=

24

25

(t-

5

2

)2+6，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S的最大值為6．
②由AP=AQ得t=10-2t，
解得t=

10

3

．
故當(dāng)t=

10

3

時(shí)，△APQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，是難點(diǎn)，也是高考的重點(diǎn)，需熟練掌握．