Question

在高等數(shù)學(xué)中有如下定義：函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）叫作函數(shù)y=f（x）的一階導(dǎo)數(shù)，類似地，把y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)．現(xiàn)若有函數(shù)f(x)=asinx+

1

3

bcosx+sin3x在x=

π

3

處取得極大值，則b的范圍為（　�。�

• A．b＜

  3

• B．b＞

  1

  2

• C．

  1

  2

  ＜b＜

  3

  2

• D．b＜

  3

  2

Answer 1

分析：根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可得y=f（x）的極大值點(diǎn)x₀滿足：f'（x₀）=0且二階導(dǎo)數(shù)[f'（x₀）]'＜0．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)以上結(jié)論建立關(guān)于a、b的不等式，解之即得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取得極大值，說明y=f（x）在x=x₀的左邊為增函數(shù)，在x=x₀的右邊為減函數(shù)，
∴y=f'（x）在x=x₀的左邊為正數(shù)，在x=x₀的右邊為負(fù)數(shù)，得x=x₀在y=f'（x）的減區(qū)間內(nèi)
因此滿足：f'（x₀）=0且二階導(dǎo)數(shù)[f'（x₀）]'＜0
對于函數(shù)f(x)=asinx+

1

3

bcosx+sin3x，得f'（x）=acosx-

1

3

bsinx+3cos3x
二階導(dǎo)數(shù)[f'（x）]'=-asinx-

1

3

bcosx-9sin3x
∵函數(shù)f(x)=asinx+

1

3

bcosx+sin3x在x=

π

3

處取得極大值，
∴

f′( π 3 )=acos π 3 - 1 3 bsin π 3 +3cosπ=0 [f′( π 3 )]′=-asin π 3 - 1 3 bcos π 3 -9sinπ＜0

，解之得：b＜

3

故選A

點(diǎn)評：本題給出函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)取得極大值時參數(shù)的取值范圍，著重考查了函數(shù)單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的關(guān)系與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等知識，屬于基礎(chǔ)題．