D
分析:設橢圓的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29.png)
,直線AB方程為y=kx+b(k>0),兩方程聯(lián)解得到B的橫坐標為-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96544.png)
,從而得|AB|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10197.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96544.png)
,同理得到|AC|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96545.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96546.png)
.根據|AB|=|AC|建立關于k、a、b的方程,化簡整理得到(k-1)[b
2k
2+(b
2-a
2)k+b
2]=0,結合題意得該方程有三個不相等的實數根,根據一元二次方程根與系數的關系和根的判別式建立關于a、b的不等式,解之即得c
2>2b
2,由此結合a
2=b
2+c
2即可解出該橢圓的離心率的取值范圍.
解答:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d5f782508ae.png)
解:設橢圓的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29.png)
(a>b>0),
根據BA、AC互相垂直,設直線AB方程為y=kx+b(k>0),AC方程為y=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5688.png)
x+b
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96547.png)
,消去y并化簡得(a
2k
2+b
2)x
2+2ka
2bx=0
解之得x
1=0,x
2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96544.png)
,可得B的橫坐標為-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96544.png)
,
∴|AB|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10197.png)
|x
1-x
2|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10197.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96544.png)
.
同理可得,|AC|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96545.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96546.png)
∵△ABC是以A為直角頂點的橢圓內接等腰直角三角形,
∴|AB|=|AC|即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10197.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96544.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96545.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96546.png)
,
化簡整理,得b
2k
3-a
2k
2+a
2k-b
2=0,分解因式得:(k-1)[b
2k
2+(b
2-a
2)k+b
2]=0…(*)
方程(*)的一個解是k
1=1,另兩個解是方程b
2k
2+(b
2-a
2)k+b
2=0的根
∵k
1=1不是方程b
2k
2+(b
2-a
2)k+b
2=0的根,
∴當方程b
2k
2+(b
2-a
2)k+b
2=0有兩個不相等的正數根時,方程(*)有3個不相等的實數根
相應地,以A為直角頂點的橢圓內接等腰直角三角形也有三個.
因此,△=(b
2-a
2)
2-2b
4>0且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96548.png)
,化簡得c
2>2b
2即3c
2>2a
2,兩邊都除以3a
2得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3886.png)
>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
,
∴離心率e滿足e
2>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
,解之得e>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/670.png)
,結合橢圓的離心率e<1,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/670.png)
<e<1
故選:D
點評:本題給出以橢圓上頂點為直角頂點的內接等腰直角三角形存在3個,求橢圓的離心率取值范圍,著重考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和直線與橢圓位置關系等知識點,屬于中檔題.