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【題目】如圖①：在平行四邊形中,,,將沿對角線折起,使,連結,得到如圖②所示三棱錐.

（1）證明：平面；

（2）若,二面角的平面角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）證明,從而證明平面,進而得出,即可證平面.最后證得平面.

（2）若,二面角的平面角的正切值為,由（1）知平面,

因為平面,所以,

又,所以即為二面角的平面角,得,從而求出,,建立空間直角坐標系,求平面的法向量為,

最后根據公式,即得直線與平面所成角大小.

（1）證明：在平行四邊形中,,

則.

在三棱錐中,因為,.

所以平面,所以.

又,,所以平面.

又平面,所以.

因為,,所以平面.

（2）解：由（1）知平面,

因為平面,所以,

又,所以即為二面角的平面角,即.

因為平面,平面.

所以,故,

又.所以.

在平行四邊形,,,

所以與為相似三角形,則,

故（）,解得,

故,解得,

所以,.

過點作,以為坐標原點,,,的方向為軸、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標系,如圖所示.

則,,,.

所以,,.

設平面的法向量為,

則

令,得.

設直線與平面所成角為,

即直線與平面所成角為.

練習冊系列答案
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【題目】（文科）已知函數.

(1)若，求曲線在點處的切線方程；

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【題目】某物流公司專營從甲地到乙地的貨運業(yè)務（貨物全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝），現統(tǒng)計了最近100天內每天可配送的貨物量，按照可配送貨物量T（單位：箱）分成了以下幾組：，，，，，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（同一組數據用該組數據的區(qū)間中點值作代表，將頻率視為概率）.

（1）該物流公司負責人決定用分層抽樣的方法從前3組中隨機抽出11天的數據來分析可配送貨物量少的原因，并從這11天的數據中再抽出3天的數據進行財務分析，求這3天的數據中至少有2天的數據來自這一組的概率.

（2）由頻率分布直方圖可以認為，該物流公司每日的可配送貨物量T（單位：箱）服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數.

（�。┰嚴迷撜龖B(tài)分布，估計該物流公司2000天內日貨物配送量在區(qū)間內的天數（結果保留整數）.

（ⅱ）該物流公司負責人根據每日的可配送貨物量為公司裝卸貨物的員工制定了兩種不同的工作獎勵方案.

方案一：直接發(fā)放獎金，按每日的可配送貨物量劃分為以下三級：時，獎勵50元；，獎勵80元；時，獎勵120元.

方案二：利用抽獎的方式獲得獎金，其中每日的可配送貨物量不低于時有兩次抽獎機會，每日的可配送貨物量低于時只有一次抽獎機會，每次抽獎的獎金及對應的概率分別為

獎金

50

100

概率

小張恰好為該公司裝卸貨物的一名員工，試從數學期望的角度分析，小張選擇哪種獎勵方案對他更有利？

附：若，則，.

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【題目】已知函數，，其中是自然對數的底數．

（Ⅰ），使得不等式成立，試求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：．

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【題目】如圖，三棱錐中，平面，，為中點，下列說法中

（1）；

（2）記二面角的平面角分別為;

（3）記的面積分別為;

（4）,

正確說法的個數為（ ）

A.0B.1C.2D.3

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【題目】已知斜率存在且不為0的直線過點，設直線與橢圓交于兩點，橢圓的左頂點為.

（1）若的面積為，求直線的方程；

（2）若直線分別交直線于點，且，記直線的斜率分別為.探究：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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【題目】為配合“2019雙十二”促銷活動，某公司的四個商品派送點如圖環(huán)形分布，并且公司給四個派送點準備某種商品各50個.根據平臺數據中心統(tǒng)計發(fā)現，需要將發(fā)送給四個派送點的商品數調整為40，45，54，61，但調整只能在相鄰派送點進行，每次調動可以調整1件商品.為完成調整，則（ ）

A.最少需要16次調動，有2種可行方案

B.最少需要15次調動，有1種可行方案

C.最少需要16次調動，有1種可行方案

D.最少需要15次調動，有2種可行方案

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【題目】已知在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點．

（Ⅰ）求證：PO平面；

（Ⅱ）求平面EFG與平面所成銳二面角的大小；

（Ⅲ）線段上是否存在點，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長度；若不存在，說明理由．

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