Question

已知點(diǎn)F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線l的距離．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過(guò)定點(diǎn)D（0，2），圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）用拋物線的定義，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
（2）設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)，利用半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形，滿(mǎn)足勾股定理，以及圓心在軌跡C上，
求出弦長(zhǎng)．

解答：解：（1）由題意知，點(diǎn)P的軌跡是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線，設(shè)其方程為x²=2py，
由

p

2

=1，解出p=2．即x²=4y，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程x²=4y．
（2）設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為M（a，b），取AB的中點(diǎn)H．連接MH，BM．則a²=4b．
圓M的半徑為|MD|=

a2+(b-2)2

，|MH|=b．
|AB|=2|BH|=2

|MB|2-|MH|2

=2

a2+(b-2)2-b2

=2

a2-4b+4

=2

4b-4b+4

=4．  即|AB|=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，直線和圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．