Question

在區(qū)間D上，如果函數(shù)f（x）為增函數(shù)，而函數(shù)為減函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“弱增函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=1-．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是否為“弱增函數(shù)”；
（2）設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，證明：|f（x₂）-f（x₁）|＜；
（3）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立，求實(shí)數(shù)a，b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)弱增函數(shù)的定義，只需證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，而函數(shù)為減函數(shù)，即可；
（2）證法1：要證|f（x₂）-f（x₁）|＜，不妨設(shè)0≤x₁＜x₂，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-，利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)在（0，+∞）單調(diào)遞減即可證明結(jié)論；
證法2：把f（x）=1-代入|f（x₂）-f（x₁）|，利用分母有理化，即可證明結(jié)論；
（3）要解）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立，利用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，等價(jià)于恒成立，即可求得實(shí)數(shù)a，b的取值范圍．
解答：解：（1）顯然f（x）在區(qū)間上為增函數(shù)（0，1]，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125213119397297/SYS201310251252131193972019_DA/6.png">=====，
所以在區(qū)間（0，1]上為減函數(shù)．
所以f（x）在區(qū)間（0，1]上為“弱增函數(shù)”．

（2）證法1：要證|f（x₂）-f（x₁）|＜，不妨設(shè)0≤x₁＜x₂，
由f（x）=1-在[0，+∞）單調(diào)遞增，
得f（x₂）＞f（x₁），
那么只要證f（x₂）-f（x₁）＜，
即證f（x₂）-＜f（x₁）-．
令g（x）=f（x）-，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要證明g（x）=f（x）-在[0，+∞）單調(diào)遞減即可．
事實(shí)上，g（x）=f（x）-=1--，
當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，g′（x）=-≤0，
所以g（x）=f（x）-在[0，+∞）單調(diào)遞減，
故命題成立．
證法2：|f（x₂）-f（x₁）|==
=，
因?yàn)閤₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，＞2，
所以|f（x₂）-f（x₁）|＜．

（3）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立．
當(dāng)x=0時(shí)，不等式顯然成立．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，等價(jià)于恒成立．
由（1）知為減函數(shù)，1-≤＜，
所以a≥且b≤1-．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)證明不等式和恒成立問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，方法靈活，很好的考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．