過雙曲線2x2-y2=1上一點(diǎn)A(1,1)作兩條動(dòng)弦AB,AC,且直線AB,AC的斜率的乘積為3.
(1)問直線BC是否可與坐標(biāo)軸垂直?若可與坐標(biāo)軸垂直,求直線BC的方程,若不與坐標(biāo)軸垂直,試說明理由.
(2)證明直線BC過定點(diǎn).
分析:(1)分類討論,利用直線AB,AC的斜率的乘積為3,即可求得結(jié)論;
(2)令BC:y=kx+b,代入雙曲線方程,得出k+5b+1=0,所以-
1
5
=k•
1
5
+b
,因此直線BC過定點(diǎn)M(
1
5
,-
1
5
)
,直線y=-
1
5
也過定點(diǎn),從而可得結(jié)論.
解答:(1)解:令B(x1,y1),C(x2,y2).
當(dāng)BC與x軸垂直時(shí),有x1=x2,y1=-y2,
故:3=
y1-1
x1-1
-y1-1
x1-1
=
1-
y
2
1
(x1-1)2
=
2(1-
x
2
1
)
(1-x1)2
=
2(1+x1)
1-x1

∴x1=
1
5
,與|x1|≥
2
2
矛盾,因此BC不與x軸垂直..(3分)
當(dāng)BC與y軸垂直時(shí),有x1=-x2,y1=y2
故:3=
y1-1
x1-1
y1-1
-x1-1
=
(1-y1
)
2
 
1-
x
2
1
=
2(1-y1)2
1-
y
2
1
=
2(1-y1)
1+y1

∴y1=-
1
5
,因此BC可與y軸垂直,此時(shí)BC的方程為y=-
1
5
.(5分)
(2)證明:當(dāng)BC不與坐標(biāo)軸垂直時(shí),kAB•kAC=
y1-1
x1-1
y2-1
x2-1
=3,
故3(x1-1)(x2-1)=(y1-1)(y2-1).…①…(6分)
令BC:y=kx+b,代入雙曲線方程有:2x2-(kx+b)2=1?(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.…②
x1,x2是方程②的兩個(gè)實(shí)根.令f(x)=(2-k2)x2-2kbx-b2-1,
則(x1-1)(x2-1)=
f(1)
2-k2
=
2-k2-2kb-b2-1
2-k2
.③…..(8分)
直線方程又可寫成:x=
y-b
k
,代入2x2-y2=1,有:2(y-b)2-k2y2=k2,整理得:(2-k2)y2-4by+2b2-k2=0.…④
y1,y2是方程④的兩個(gè)實(shí)根.
令g(y)=(2-k2)y2-4by+2b2-k2
(y1-1)(y2-1)=
g(1)
2-k2
=
2-2k2-4b+2b2
2-k2
.…⑤…(10分)   
③,⑤兩式代入①式,有:
3(1-k2-2kb-b2)
2-k2
=
2-2k2-4b+2b2
2-k2

故3[1-(k+b)2]=2[(b-1)2-k2],
從而:3(1-k-b)(1+k+b)=2(b-1-k)(b-1+k).…⑥
因?yàn)辄c(diǎn)A(1,1)不在直線y=kx+b上,故k+b≠1.
利用⑥,可知:3 (1+k+b)+2(b-1-k)=0,
即k+5b+1=0,所以-
1
5
=k•
1
5
+b
. 
因此直線BC過定點(diǎn)M(
1
5
,-
1
5
)
,直線y=-
1
5
也過定點(diǎn)M.
綜上所述,直線BC恒過定點(diǎn)M(
1
5
,-
1
5
)
.…(14分)
點(diǎn)評:本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查直線恒過定點(diǎn),考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較大.
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