Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ccosB=（2a-b）cosC．
（1）求角C的大��；
（2）若AB=4，求△ABC的面積S的最大值，并判斷當(dāng)S最大時△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形，求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由c與C的度數(shù)，表示出三角形ABC面積，利用余弦定理及基本不等式求出ab的最大值，進(jìn)而確定出三角形ABC面積的最大值，以及此時三角形的形狀即可．

解答 解：（1）∵ccosB=（2a-b）cosC，
∴由正弦定理可知，sinCcosB=2sinAcosC-sinBcosC，
即sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosC，
∴sin（C+B）=2sinAcosC，
∵A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由題可知c=4，C=$\frac{π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
∵由余弦定理可知：a²+b²=c²+2abcosC，即a²+b²=16+ab≥2ab，
∴ab≤16，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，
∴S_△ABC的最大值為4$\sqrt{3}$，此時三角形為等邊三角形．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．