Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖）．在直線的右側(cè)，考察范圍為到點B的距離不超過km的區(qū)域；在直線的左側(cè)，考察范圍為到A，B兩點的距離之和不超過km的區(qū)域．

(1)求考察區(qū)域邊界曲線的方程；

(2)如圖所示，設線段，是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間．

 

Answer 1

解（1）設邊界曲線上點Ｐ的坐標為．當時，由題意知．

當時，由知，點Ｐ在以為焦點，

長軸長為的橢圓上．

此時短半軸長．

因而其方程為．

故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為

和．

（2）設過點的直線為，過點的直線為，則直線，的方程分別為

設直線平行于直線，其方程為代入橢圓方程，

消去，得．

由，解得，或．

從圖中可以看出，當時，直線與的公共點到的距離最近，此時直線

的方程為與之間的距離為．

又直線到和的最短距離而，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為３．設冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的時間為年，

則由題設及等比數(shù)列求和公式，得，所以．

故冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的時間為４年.