Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）
（1）求該函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）證明f（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接由分式的分母不等于0求解x的取值集合得函數(shù)的定義域；
（2）直接由函數(shù)奇偶性的定義加以判斷；
（3）函數(shù)的定義域是{x|x≠0}，分x＞0和x＜0兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的定義域進(jìn)行證明．

解答： （1）解：由2^x-1≠0，得2^x≠1，即x≠0．
∴函數(shù)f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）的定義域是{x|x≠0}；
（2）解：函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又f(-x)=-x(

1

2-x-1

+

1

2

)=-x(

2x

1-2x

+

1

2

)=-x•

1+2x

2(1-2x)

=x•

1+2x

2(2x-1)

，
而f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）=x•

1+2x

2(2x-1)

，
∴f（-x）=f（x）．
f（x）為偶函數(shù)；
（3）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，2^x-1＞0，f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0．
當(dāng)x＜0時(shí)，由0＜2^x＜1，
得-1＜2^x-1＜0，
∴

1

2x-1

＜-1，則

1

2x-1

+

1

2

＜-

1

2

＜0，
∴f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0．
綜上，f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)奇偶性的判斷方法，對(duì)于（3）的證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．