已知函數(shù)f(x)=ax2+2x+c,且f(x)>0的解集為{x|x≠-
1a
}

(1)求f(2)的取值范圍;
(2)在f(2)取得最小值時,若對于任意的x∈[2+∞),f(x)+2≥mf'(x)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)已知函數(shù)f(x)=ax2+2x+c,且f(x)>0的解集為{x|x≠-
1
a
}
,可以函數(shù)開口向上,與x軸有一個交點,從而求解;
(2)由(1)求出f(x)的解析式,對于任意的x∈[2+∞),f(x)+2≥mf'(x)恒成立,利用常數(shù)分離法,可以將問題轉(zhuǎn)化為
1
2
(x+2)+
2
x+2
≥m在x∈[2+∞),恒成立,從而求出m的范圍;
解答:解:(1)由題意可得
a>0
△=4-4ac=0
⇒ac=1⇒c>0
所以f(2)=4a+4+c≥2
4ac
+4=8
當(dāng)且僅當(dāng)f(2)=4a+4+c≥2
4ac
+4=8
當(dāng)且僅當(dāng)4a=c即
a=
1
2
c=2
時“=”成立,
故f(2)的取值范圍為[8,+∞)
(2)由(1)可得f(x)=
1
2
x2+2x+2=
1
2
(x+2)2,,∴f′(x)=x+2,
因為對于任意的x∈[2+∞),f(x)+2≥mf'(x)恒成立,
1
2
(x+2)+
2
x+2
≥m在x∈[2+∞),恒成立,
故[
1
2
(x+2)+
2
x+2
]min≥m即可,
又函數(shù)y=
1
2
(x+2)+
2
x+2
在x∈[2+∞)上遞增,所以[
1
2
(x+2)+
2
x+2
]min=
5
2
,
∴m≤
5
2
點評:此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),以及解析式的求法,第二問利用了轉(zhuǎn)化的思想,這是高考常考的熱點問題,本題是一道中檔題;
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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34
的解集為
(-∞,-2)
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2x
)>3

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