Question

15．實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}\right.$，則$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$的取值范圍是[2，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 根據已知的約束條，畫出滿足約束條件的可行域，將式子進行變形，再分析目標函數的幾何意義，結合圖象即可給出目標函數的取值范圍．

解答 解：約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}\right.$對應的平面區(qū)域如下圖示：
設k=$\frac{y}{x}$，則z表示可行域內的點（x，y）與點（0，0）連線的斜率，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$可得B（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$可得A（1，2）
由圖可知k的最大值為k_OB=2，最小值為k_OA=$\frac{1}{2}$，
$\frac{y}{x}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，2]，
又$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$=k+$\frac{1}{k}$在[$\frac{1}{2}$，1]上單調遞減，在[1，2]上遞增，
則當t=1時，z=1+1=2，
當t=$\frac{1}{2}$時，z=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$的取值范圍是[2，$\frac{5}{2}$]．
故答案為：[2，$\frac{5}{2}$]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區(qū)域，分析表達式的幾何意義，然后結合數形結合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．