Question

設(shè)n∈N^*，圓C_n：x²+y²=R_n²（R_n＞0）與y軸正半軸的交點為M，與曲線y=

x

的交點為N（x_n，y_n），直線MN與x軸的交點為A（a_n，0）．若數(shù)列{x_n}滿足：x_n+1=4x_n+3，x₁=3．則常數(shù)p=

 

使數(shù)列{a_n+1-p•a_n}成等比數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)條件求出x_n，y_n的關(guān)系，利用遞推數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和定義，進行推理即可得到結(jié)論．

解答： 解：y=

x

與圓C_n交于點N，則R_n²=x_n²+y_n²=x_n²+x_n，
即R_n=

x 2 n +xn

，
由題可知，點M的坐標(biāo)為（0，R_n），從而直線MN的方程為

x

an

+

y

Rn

=1，由點N（x_n，y_n），在直線MN上得：

x

an

+

y

Rn

=1，
將R_n=

x 2 n +xn

，y_n=

xn

代入化簡得：a_n=1+x_n+

1+xn

．
由x_n+1=4x_n+3，得：1+x_n+1=4（1+x_n），
又1+x₁=4，故1+x_n=4•4^n-1=4ⁿ，
即a_n=4n+

4n

=4ⁿ+2ⁿ，
a_n+1-p•a_n=4ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-p（4ⁿ+2ⁿ）=（4-p）4ⁿ+（2-p）2ⁿ，
a_n+2-p•a_n+1=4ⁿ⁺²+2ⁿ⁺²-p（4ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹）=（16-4p）4ⁿ+（4-2p）2ⁿ，
令a_n+2-p•a_n+1=q（a_n+1-p•a_n）得：
（16-4p）4ⁿ+（4-2p）2ⁿ=q（4-p）4ⁿ+q（2-p）2ⁿ，
由等式（16-4p）2ⁿ+（4-2p）=q（4-p）2ⁿ+q（2-p）對任意n∈N^•成立得：

18-4p=q(4-p) 4-2p=q(2-p)

，
即

pq=8 p+q=6

，解得：

p=2 q=4

或

p=4 q=2

，
故當(dāng)p=2時，數(shù)列{a_n+1-p•a_n}成公比為4的等比數(shù)列；
當(dāng)p=4時，數(shù)列{a_n+1-p•a_n}成公比為2的等比數(shù)列．
故答案為：2或4

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及等比數(shù)列的推理和判斷，綜合性較強，運算量較大．