分析 (Ⅰ)當(dāng)線段AF1的中點在y軸上時,AC垂直于x軸,△AF1F2為直角三角形.運用余弦函數(shù)的定義可得|AF1|=3|AF2|,易知|AF2|=2a,再由橢圓的定義,結(jié)合離心率公式即可得到所求值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得橢圓方程為x2+2y2=2b2,焦點坐標(biāo)為F1(-b,0),F(xiàn)2(b,0),(1)當(dāng)AB,AC的斜率都存在時,設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),求得直線AC的方程,代入橢圓方程,運用韋達定理,再由向量共線定理,可得λ1+λ2為定值6;若AC⊥x軸,若AB⊥x軸,計算即可得到所求定值.
解答 解:(Ⅰ)當(dāng)線段AF1的中點在y軸上時,AC垂直于x軸,△AF1F2為直角三角形.
因為cos∠F1AF2=13,所以|AF1|=3|AF2|,易知|AF2|=2a,
由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=2a,
則4•2a=2a,即a2=2b2=2(a2-c2),即a2=2c2,
即有e=ca=√22;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得橢圓方程為x2+2y2=2b2,焦點坐標(biāo)為F1(-b,0),F(xiàn)2(b,0),
(1)當(dāng)AB,AC的斜率都存在時,設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),
則直線AC的方程為y=y0x0−b(x-b),代入橢圓方程得
(3b2-2bx0)y2+2by0(x0-b)y-b2y02=0,
可得y0y2=-2y0232−2bx0,又λ2=|→AF2||→F2C|=y0−y2=3b−2x0,
同理λ1=3b+2x0,可得λ1+λ2=6;
(2)若AC⊥x軸,則λ2=1,λ1=\frac{3b+2b}=5,這時λ1+λ2=6;
若AB⊥x軸,則λ1=1,λ2=5,這時也有λ1+λ2=6;
綜上所述,λ1+λ2是定值6.
點評 本題考查橢圓離心率的求法,注意運用橢圓的定義和解直角三角形,考查定值的求法,注意運用分類討論的思想方法,以及聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用韋達定理,考查化解在合理的運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ②③都不能為系統(tǒng)抽樣 | B. | ②④都不能為分層抽樣 | ||
C. | ①④都可能為系統(tǒng)抽樣 | D. | ①③都可能為分層抽樣 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | √104 | B. | √64 | C. | √24 | D. | 14 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分非必要條件 | B. | 必要非充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 即不充分又不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {x|2<x<3} | B. | {x|-2<x<0} | C. | {x|0<x<2} | D. | {x|-2<x<3} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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