Question

已知a為實數，函數f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f′（-1）=0，求函數y=f（x）在[-

3

2

，1]上的極大值和極小值；
（2）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先對函數進行求導，f′（-1）=0，即可求出a的值，再利用導數求出函數的單調區(qū)間，繼而得到函數y=f（x）在[-

3

2

，1]上的極大值和極小值；
（2）由于函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，得到f′（x）=0有實數解，再由△≥0，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f′（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2．
∴f′(x)=3x2+4x+1=3(x+

1

3

)(x+1)，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞-

1

3

；
由f′（x）＜0，得-1＜x＜-

1

3

，
因此，函數f（x）的單調增區(qū)間為(-

3

2

， -1)，(-

1

3

， 1)；單調減區(qū)間為(-1， -

1

3

)．
f（x）在x=-1取得極大值為f（-1）=2；f（x）在x=-

1

3

取得極小值為f(-

1

3

)=

50

27

．   
（2）∵f（x）=x³+ax²+x+a，∴f′（x）=3x²+2ax+1．
∵函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，∴f′（x）=0有實數解．
∴△=4a²-4×3×1≥0，∴a²≥3，即 a≤-

3

或a≥

3

．
因此，所求實數a的取值范圍是(-∞， -

3

]∪[

3

， +∞)．

點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件和導數的幾何意義，以及利用導數解決函數在閉區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．