Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊為a，b，c．
（1）若2a=b+c，sin²A=sinBsinC，試判斷△ABC的形狀；
（2）試比較a²+b²+c²與2（ab+bc+ca）的大�。�

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷

專題：解三角形

分析：（1）首先根據(jù)正弦定理得出a²=bc，然后結(jié)合2a=b+c，得出b=c，a=b判斷出三角形的形狀；
（2）將要比較大小的兩式作差后整理可得：a²+b²+c²-2（ab+bc+ac）=（a+b）（a-b-2c）+c²；①依題意知a+b＞c，a-b-2c＜0，利用不等式的性質(zhì)即可得到答案．

解答： 解：（1）由正弦定理及sin²A=sinBsinC得a²=bc，又由2a=b+c得4a²=b²+2bc+c²，所以b²-2bc+c²=0，即（b-c）²=0，所以b=c．…（5分）
故a²=b²，即a=b，所以△ABC是等邊三角形．…（7分）
（2）因為2（ab+bc+ca）-（a²+b²+c²）=（ab+ca-a²）+（ab+bc-b²）+（ca+bc-c²）=a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（a+b-c），…（10分）
因為a，b，c為△ABC的三邊長，故a＞0，b＞0，c＞0，b+c-a＞0，a+c-b＞0，a+b-c＞0，
所以a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（a+b-c）＞0…（13分）
故a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）．…（14分）

點評：本題考查正弦定理，著重考查作差法、二次函數(shù)的配方法、放縮法的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想與推理運算能力，屬于難題．