Question

過拋物線焦點垂直于對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．如圖，已知拋物線y²=2px（p＞0），過其焦點F的直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A₁、B₁．
（1）求出拋物線的通徑，證明x₁x₂和y₁y₂都是定值，并求出這個定值；
（2）證明：A₁F⊥B₁F．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)AB⊥x時，根據(jù)拋物線方程得到A、B兩點的坐標(biāo)，直接計算可得通徑的長，并且、，是定值；當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)AB方程的點斜式形式，并且與拋物線聯(lián)解消去x得到關(guān)于y的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出，結(jié)合拋物線方程即可得到，從而使命題得到證明．
（2）根據(jù)題意，得出A₁、B₁的坐標(biāo)，從而得到向量的坐標(biāo)，計算數(shù)量積并進(jìn)行化簡得到0，由此即可得到A₁F⊥B₁F．
解答：解：∵拋物線方程是y²=2px，
∴拋物線的焦點，準(zhǔn)線
（1）①當(dāng)AB⊥x時，可得、，
∴通徑長為p-（-p）=2p，
可得此時且，是定值．
②AB與x軸不垂直時，設(shè)AB：（k≠0）
由消去x，得，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，
再代入到拋物線方程，可得，是定值．
綜上所述，過焦點F的直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，必有、是定值；
（2）根據(jù)題意，可得、，
∵焦點，
∴，
由此可得，
∴，即A₁F⊥B₁F．
點評：本題給出拋物線經(jīng)過焦點的弦的端點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），它們在準(zhǔn)線上的射影點分別為A₁、B₁，求證x₁x₂和y₁y₂都是定值并證明A₁F⊥B₁F．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．