Question

已知集合P={x|x²-3x+b=0}，Q={x|（x+1）（x²+3x-4）=0}．
（1）當b=4時，寫出所有滿足條件P?M⊆Q的集合M；
（2）若P⊆Q，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于集合Q={-1，1，-4}，當b=4時，集合P=∅，再由 P?M⊆Q可得，M是Q的非空子集，從而得到M．
（2）當P=∅，△=9-4b＜0時，有b＞

9

4

．當P≠∅，方程x²-3x+b=0有實數(shù)根，且實數(shù)根是-1，1，-4中的數(shù)，把x=-1，1，-4代入檢驗，由此得到實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）∵集合Q={x|（x+1）（x²+3x-4）=0}={x|（x+1）（x+4）（x-1）=0}={-1，1，-4}，
當b=4時，集合P=∅，再由 P?M⊆Q可得，M是Q的非空子集．
共有 2³-1=7 個，分別為{-1}、{1}、{-4}、{-1，1}、{-1，4}、{1，4}、{-1，1，-4}．
（2）∵P⊆Q，對于方程x²-3x+b=0，當P=∅，△=9-4b＜0時，有b＞

9

4

．
△=9-4b≥0時，P≠∅，方程x²-3x+b=0有實數(shù)根，且實數(shù)根是-1，1，-4中的數(shù)．
若-1是方程x²-3x+b=0的實數(shù)根，則有b=-4，此時P={-1，4}，不滿足P⊆Q，故舍去．
若1是方程x²-3x+b=0的實數(shù)根，則有b=2，此時P={1，2}，不滿足P⊆Q，，故舍去．
若-4是方程x²-3x+b=0的實數(shù)根，則有b=2，此時P={-1，4}，不滿足P⊆Q，故舍去．
綜上可得，實數(shù)b的取值范圍為（

9

4

，+∞）．

點評：本題主要考查集合關系中參數(shù)的取值范圍問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．注意檢驗P⊆Q，這是解題的易錯點，屬于中檔題．