【題目】如圖,某大型水上樂園內(nèi)有一塊矩形場地米, 米,以為直徑的半圓和半圓(半圓在矩形內(nèi)部)為兩個半圓形水上主題樂園, 都建有圍墻,游客只能從線段處進(jìn)出該主題樂園.為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益,水上樂園管理部門決定沿著修建不銹鋼護(hù)欄,沿著線段修建該主題樂園大門并設(shè)置檢票口,其中分別為上的動點(diǎn), ,且線段與線段在圓心連線的同側(cè).已知弧線部分的修建費(fèi)用為元/米,直線部門的平均修建費(fèi)用為元/米.

(1)若米,則檢票等候區(qū)域(其中陰影部分)面積為多少平方米?

(2)試確定點(diǎn)的位置,使得修建費(fèi)用最低.

【答案】(1);(2)當(dāng)時,修建費(fèi)用最低.

【解析】試題分析:

1設(shè)直線矩形交于兩點(diǎn),則陰影部分的面積為矩形的面積減去梯形和扇形與扇形的面積.(2)設(shè),則,,從而可得修建費(fèi)用,利用導(dǎo)數(shù)求解,可得當(dāng)時,即, 有最小值,即修建費(fèi)用最低.

試題解析

(1)如圖,設(shè)直線矩形交于兩點(diǎn),連,則米, 米.

梯形的面積為平方米,

矩形的面積為平方米,

,得扇形和扇形的面積均為平方米,

故陰影部分面積為平方米

2)設(shè),則,

所以

修建費(fèi)用,

所以,

,得

當(dāng)變化時, 的變化情況如下表:

0

極小值

由上表可得當(dāng)時,即, 有極小值,也為最小值.

故當(dāng)時,修建費(fèi)用最低

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(2)求這名男生中身高在以上(含)的人數(shù);

(3)從這名男生中身高在以上(含)的人中任意抽取人,該中身高排名(從高到低)在全省前名的人數(shù)記為,求的數(shù)學(xué)期望.

(附:參考數(shù)據(jù):若服從正態(tài)分布,則, .)

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