Question

已知雙曲線C關(guān)于兩條坐標軸都對稱，且過點P（2，1），直線PA₁與PA₂（A₁，A₂為雙曲線C的兩個頂點）的斜率之積，求雙曲線C的標準方程．

Answer 1

解：（1）當雙曲線的焦點位于x軸上時，設(shè)C：（a＞0，b＞0），
所以A₁（-a，0），A₂（a，0），
所以，
解得a²=3．…2分
將a²=3，P（2，1）代入雙曲線方程，得，解得b²=3．…2分
所以雙曲線C的標準方程為．…2分
（2）當雙曲線的焦點位于y軸上時，設(shè)C：（a＞0，b＞0），
所以A₁（0，-a），A₂（0，a），
所以，
解得a²=-3（舍去）．…2分
綜上，所求雙曲線C的標準方程為．
分析：分類討論，設(shè)出標準方程，確定雙曲線的頂點坐標，利用斜率關(guān)系及點P的坐標，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查分類討論的數(shù)學思想，利用待定系數(shù)法是關(guān)鍵．