Question

16．設函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x}+x-a（{a∈R}）$，若曲線$y=\frac{{2{e^{x+1}}}}{{{e^{2x}}+1}}（e$是自然對數(shù)的底數(shù)）上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0]
• B． （0，e]
• C． $（{-∞，\frac{1}{e}}]$
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 由題意可知：求導，根據(jù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得y₀的取值范圍，求導，則f（x）在（0，e]單調(diào)遞增，且f（y₀）=y₀．，函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x}+x-a（{a∈R}）$=x，化為a=$\frac{lnx}{x}$．即可求得a的取值范圍．

解答 解：$y=\frac{{2{e^{x+1}}}}{{{e^{2x}}+1}}（e$是自然對數(shù)的底數(shù)），求導，y′=$\frac{2{e}^{x+1}（1-{e}^{2x}）}{（{e}^{2x}+1）^{2}}$，
令y′=0，解得：x=0，
當x＞0時，y′＞0，當x＜0，y′＜0，
則x∈（-∞，0），函數(shù)單調(diào)遞增，x∈（0，+∞）時，函數(shù)y單調(diào)遞減，
則當x=0時，取最大值，最大值為e，
∴y₀的取值范圍（0，e]，
則函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x}+x-a（{a∈R}）$，x∈（0，e），
求導，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-lnx+1}{{x}^{2}}$，
x∈（0，e），f′（x）＞0，
則f（x）在（0，e）單調(diào)遞增，
下面證明f（y₀）=y₀．
假設f（y₀）=c＞y₀，則f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不滿足f（f（y₀））=y₀．
同理假設f（y₀）=c＜y₀，則不滿足f（f（y₀））=y₀．
綜上可得：f（y₀）=y₀．
令函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x}+x-a（{a∈R}）$=x，化為a=$\frac{lnx}{x}$．
設g（x）=$\frac{lnx}{x}$，求導g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，e），g′（x）＞0，
g（x）在（0，e）單調(diào)遞增，
當x=e時取最大值，最大值為$\frac{1}{e}$，
當x→0時，a→-∞，
∴a的取值范圍（-∞，$\frac{1}{e}$]，
故選C．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．