Question

如圖所示直三棱柱ABG-DCE中ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，DE⊥平面ABCD，F(xiàn)為AG的中點(diǎn)，BE與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

．
（1）求證：AC∥平面EFB；
（2）求二面角F-BE-A的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出DE=2，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC∥平面EFB．
（2）求出平面BEA的法向量和平面EFB的法向量，由此利用向量法能求出二面角F-BE-A的大�。�

解答： （1）證明：∵ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，DE⊥平面ABCD，F(xiàn)為AG的中點(diǎn)，
BE與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

，
∴∠DBE是BE與平面ABCD所成角，BD=

4+4

=2

2

，
∴tan∠DBE=

DE

BD

=

DE

2 2

=

2

2

，解得DE=2，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A（2，0，0），C（0，2，0），

AC

=（-2，2，0），
E（0，0，2），F(xiàn)（2，0，1），B（2，2，0），

EF

=（2，0，-1），

EB

=（2，2，-2），
設(shè)平面EFB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • EF =2x-z=0 n • EB =2x+2y-2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，2），
∵

AC

•

n

=-2+2+0=0，又AC?平面EFB，
∴AC∥平面EFB．
（2）解：設(shè)平面BEA的法向量

m

=（a，b，c），
∵

EA

=（2，0，-2），

EB

=（2，2，-2），
∴

EA • m =2a-2c=0 EB • m =2a+2b-2c=0

，取a=1，得

m

=（1，0，1），
設(shè)二面角F-BE-A的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=|

1+0+2

6 × 2

|=

3

2

，
∴θ=

π

6

，
∴二面角F-BE-A的大小為

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．