Question

8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c．
（1）D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面積的2倍，AD=1，CD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求b邊的值；
（2）若a+b+c=8，若sinCcos²$\frac{B}{2}$+sinBcos²$\frac{C}{2}$=2sinA，△ABC的面積S=$\frac{9}{2}$sinA，求邊c的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面積比得出c=2b，在△ABD和△ACD中利用正弦定理得出BD=2CD，再利用余弦定理列方程解出b；
（2）利用二倍角公式化簡(jiǎn)再根據(jù)正弦定理得出b+c=3a，結(jié)合周長(zhǎng)得出b+c=6，根據(jù)面積公式得出bc=9，解方程組得出c．

解答 解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
∵S_△ABD=2S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$=2$•\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD$，
∴AB=2AC，即c=2b．
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{sin∠ADC}=\frac{CD}{sin∠CAD}$，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{c}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，
∵∠ADC+∠ADB=π，c=2b，∠CAD=∠BAD，
∴BD=2CD=$\sqrt{2}$．
分別在△ABD和△ACD中使用余弦定理得cos∠BAD=$\frac{A{D}^{2}+A{B}^{2}-B{D}^{2}}{2AD•AB}$=$\frac{4^{2}+1-2}{4b}$．
cos∠CAD=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2AD•AC}$=$\frac{1+^{2}-\frac{1}{2}}{2b}$，
∴4b²-1=2b²+1，解得b=1．
（2）∵sinCcos²$\frac{B}{2}$+sinBcos²$\frac{C}{2}$=2sinA，∴sinC$•\frac{1+cosB}{2}$+sinB$•\frac{1+cosC}{2}$=2sinA，
即sinB+sinC+sin（B+C）=4sinA，∴sinB+sinC=3sinA．
∴b+c=3a．
又∵a+b+c=8，∴b+c=6．
∵S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{9}{2}$sinA，∴bc=9．
∴b=c=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題．