Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求證：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（3）在線段BC₁上是否存在點D，使得AD⊥A₁B？若存在，求出$\frac{BD}{B{C}_{1}}$的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明AA₁⊥AC．利用平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且AA₁垂直于這兩個平面的交線AC，推出結果．
（2）以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz，求出相關點的坐標，求出平面A₁BC₁的法向量，平面BB₁C₁的法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．
（3）設D（x，y，z）是直線BC₁上一點，且$\overrightarrow{BD}$=$λ\overrightarrow{B{C}_{1}}$．求出$\overrightarrow{AD}$=（4λ，3-3λ，4λ）．通過$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0$，求出$λ=\frac{9}{25}$．推出結果．

解答 解：（1）因為AA₁C₁C為正方形，所以AA₁⊥AC．
因為平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且AA₁垂直于這兩個平面的交線AC，
所以AA₁⊥平面ABC．…．（4分）
（2）由（I）知AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．由題知AB=3，BC=5，AC=4，
所以AB⊥AC．
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz，則B（0，3，0），
A₁（0，0，4），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，3，-4），
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（4，0，0）
設平面A₁BC₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3y-4z=0}\\{4x=0}\end{array}\right.$，
令z=3，則x=0，y=4，所以$\overrightarrow{n}$=（0，4，3）．
同理可得，平面BB₁C₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（3，4，0），所以cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{16}{25}$．
由題知二面角A₁-BC₁-B₁為銳角，所以二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值為$\frac{16}{25}$．…（8分）
（3）設D（x，y，z）是直線BC₁上一點，且$\overrightarrow{BD}$=$λ\overrightarrow{B{C}_{1}}$．
所以（x，y-3，z）=λ（4，-3，4）．解得x=4λ，y=3-3λ，z=4λ．
所以$\overrightarrow{AD}$=（4λ，3-3λ，4λ）．
由$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0$，即9-25λ=0．解得$λ=\frac{9}{25}$．
因為$\frac{9}{25}$∈（0，1），所以在線段BC₁上存在點D，使得AD⊥A₁B．
此時，$\frac{BD}{B{C}_{1}}$=λ=$\frac{9}{25}$．…（12分）

點評 本題考查二面角的平面角的求法，平面與平面垂直的性質定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．