Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=0，且

1

1-an+1

-

1

1-an

=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

1- an+1

n

，記S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得{

1

1-an

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則

1

1-an

=1+(n-1)×1=n，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由bn=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法能證明S_n＜1．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）∵a₁=0，且

1

1-an+1

-

1

1-an

=1（n∈N^*）．
∴{

1

1-an

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
則

1

1-an

=1+(n-1)×1=n，
∴1-an=

1

n

，∴a_n=

n-1

n

．…（5分）
（2）∵bn=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，…（7分）
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1．
∴S_n＜1．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．