Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝loga（x+a）（a＞0且a≠1）的圖象過點(diǎn)（﹣1，0），g（x）＝f（x）+f（﹣x）．

（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的定義域；

（Ⅱ）寫出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求g（x）的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（﹣2，2），（Ⅱ）單調(diào)增區(qū)間（﹣2，0），單調(diào)遞減區(qū)間（0，2），最大值2

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)（﹣1，0），計(jì)算得到a＝2，代入得到g（x）＝f（x）+f（﹣x）

，定義域滿足得到答案.

（Ⅱ）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性到單調(diào)增區(qū)間（﹣2，0），單調(diào)遞減區(qū)間（0，2），再計(jì)算最值得到答案.

（Ⅰ）f（x）＝loga（x+a）（a＞0且a≠1）的圖象過點(diǎn)（﹣1，0），∴a﹣1＝1即a＝2，

∴g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝log2（x+2）+log2（﹣x+2）

由題意可得，，即﹣2＜x＜2

∴函數(shù)g（x）的定義域（﹣2，2）

（Ⅱ）

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知g（x）的單調(diào)增區(qū)間（﹣2，0），單調(diào)遞減區(qū)間（0，2）

當(dāng)x＝0時(shí)，g（x）取得最大值2．