證明:(I)以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP方向分別為x,y,z軸正方向建立空間坐標(biāo)系,
設(shè)AB=2a
則A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),E(a,0,0),
∴設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14094.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54493.png)
=(2aλ,λ,-λ),則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12278.png)
=(-a+2aλ,λ,1-λ)
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/230.png)
=(2a,0,0)為平面PAD的一個法向量,且EF∥面PAD
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12278.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/230.png)
=0
即2a•(-a+2aλ)=0,
∴λ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
故F為PC的中點;
解:(II)若AB=2,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),E(1,0,0),
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3855.png)
=(0,1,-1),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1541.png)
=(2,1,-1),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12692.png)
=(1,0,-1)
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3011.png)
=(a,b,c)為平面PCD的一個法向量
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54494.png)
,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3011.png)
=(0,1,1)為平面PCD的一個法向量
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/686.png)
=(x,y,z)為平面PDE的一個法向量
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54495.png)
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/686.png)
=(1,1,1)為平面PDE的一個法向量
設(shè)二面角C-PD-E的平面角為θ
則cosθ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22261.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/670.png)
即二面角C-PD-E的平面角的余弦值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/670.png)
分析:(I)以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP方向分別為x,y,z軸正方向建立空間坐標(biāo)系,設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14094.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54493.png)
,AB=2a,設(shè)我們分別求出向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12278.png)
的坐標(biāo)及平面PAD的法向量的坐標(biāo),根據(jù)兩個向量垂直數(shù)量積為0,我們可以構(gòu)造一個關(guān)于λ的方程,解方程求出λ值,即可判斷F點的位置;
(II)若AB=2,我們分別求出平面PCD的一個法向量和平面PDE的一個法向量,然后代入向量夾角公式,即可得到答案.
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,直線與平面平行的性質(zhì),其中建立空間坐標(biāo)系,將線面平行問題及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵.