Question

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞0)的右頂點為A，上頂點為B，直線y=t與橢圓交于不同的兩點E，F(xiàn)，若D（x，y）是以EF為直徑的圓上的點，當t變化時，D點的縱坐標y的最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(0，

2

)且斜率k為的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，是否存在k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線？若存在，試求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

y=t x2+a2y2=a2

，得x²=a²（1-t²），-1＜t＜1，故r=

|EF|

2

=a

1-t2

，圓心為（0，t），由此能求出橢圓C的方程．
（2）l：y=kx+

2

，由

y=kx+ 2 x2+3y2=3

，得(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0，△=72k2-12(1+3k2)＞0⇒|k|＞

3

3

，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點M(

x

0

，y0)．由此能夠推導出不存在k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線．

解答：解：（1）由

y=t x2+a2y2=a2

，得x²=a²（1-t²），-1＜t＜1，
∴r=

|EF|

2

=a

1-t2

，圓心為（0，t），
以EF為直徑的圓的方程為：x²+（y-t）²=a²（1-t²）⇒y≤t+a

1-t2

（當x=0時取等）
令t=cosθ（θ∈（0，π））⇒y≤cosθ+asinθ=

a2+1

sin(θ+?)，
依題

a2+1

=2⇒a2=3，
橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1．（6分）
（2）l：y=kx+

2

，
由

y=kx+ 2 x2+3y2=3

，
消去y：(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0△=72k2-12(1+3k2)＞0⇒|k|＞

3

3

，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點M(

x

0

，y0)．
由點差法：x12-x22=-3(y12-y22)⇒

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

-3(y1+y2)

，
即k=

x0

-3y0

⇒x0=-3ky0①
M在直線l上⇒y0=kx0+

2

 ②
又A(

3

，0)，B(0，1)⇒

AB

=(-

3

，1)，
而

OP

+

OQ

與

AB

共線，可得

OM

∥

AB

⇒x0=-

3

y0，③，
由①②③得k=

3

3

，（12分）
這與|k|＞

3

3

矛盾，故不存在k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線．（13分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．