Question

已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，由點(diǎn)P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M的軌跡為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若線段AB是曲線C的一條動(dòng)弦，且|AB|=2，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到動(dòng)弦AB距離的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，再根據(jù)已知條件用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示點(diǎn)P，使用“代點(diǎn)法”即可得出；
（Ⅱ）先對(duì)直線BA的斜率討論，把直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則，．
∵動(dòng)點(diǎn)P滿足，∴，化為
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），則Q（x，0），如圖所示，
∵，，，
∴，化為，
代入動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程得x²+2y²=2，即曲線C的方程為．
（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，∵|AB|=2=短軸長，∴直線AB經(jīng)過原點(diǎn)，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離=0；
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，
聯(lián)立，消去y得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，化為t²＜1+2k²．（*）
∴，，
∴|AB|=，
∴2²=，
化為．（**）
原點(diǎn)O到直線AB的距離d=，∴，
把（**）代入上式得=，當(dāng)且僅當(dāng)，即k²=0，k=0時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)，滿足（*）式．
∴，∴，即原點(diǎn)O到直線AB的最大距離d=．
綜上可知：坐標(biāo)原點(diǎn)O到動(dòng)弦AB距離的最大值是．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與橢圓相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、“代點(diǎn)法”是解題的關(guān)鍵．