Question

已知平面內一動點P到點F(1，0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1．

（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁，l₂，設l₁與軌跡C相交于點A，B，l₂與軌跡C相交于點D，E，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當x≥0時，y²＝4x；當x＜0時，y＝0；（Ⅱ）16.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要求動點P的軌跡C，設動點P的坐標為(x，y)，根據題意列出關系式－|x|＝1，化簡得y²＝2x＋2|x|，式中有絕對值，需要根據x討論為當x≥0時，y²＝4x；當x＜0時，y＝0；（Ⅱ）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為0，可以設為k，則l₁的方程為y＝k(x－1)，聯立得k²x²－(2k²＋4)x＋k²＝0，接著設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁，x₂是上述方程的兩個實根，于是x₁＋x₂＝2＋，x₁x₂＝1．而l₁⊥l₂，則l₂的斜率為－，設D(x₃，y₃)，E(x₄，y₄)，則同理可得x₃＋x₄＝2＋4k²，x₃x₄＝1，利用坐標表示出，化簡得=8＋4(k²＋)≥8＋4×2＝16，故當且僅當k²＝，即k＝±1時，取最小值16.

試題解析：（Ⅰ）設動點P的坐標為(x，y)，由題意有

－|x|＝1，

化簡，得y²＝2x＋2|x|．

當x≥0時，y²＝4x；當x＜0時，y＝0．

∴動點P的軌跡C的方程為y²＝4x（x≥0）和y＝0（x＜0）．

（Ⅱ）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為0，設為k，則l₁的方程為y＝k(x－1)．

由得k²x²－(2k²＋4)x＋k²＝0．

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁，x₂是上述方程的兩個實根，于是

x₁＋x₂＝2＋，x₁x₂＝1．

∵l₁⊥l₂，∴l(xiāng)₂的斜率為－．

設D(x₃，y₃)，E(x₄，y₄)，則同理可得x₃＋x₄＝2＋4k²，x₃x₄＝1．

故＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·

＝||||＋||||

＝(x₁＋1)(x₂＋1)＋(x₃＋1)(x₄＋1)

＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1＋x₃x₄＋(x₃＋x₄)＋1

＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k²)＋1

＝8＋4(k²＋)≥8＋4×2＝16．

當且僅當k²＝，即k＝±1時，取最小值16．

考點：1.曲線的軌跡方程求解；2.直線與圓錐曲線問題.